Ina Kersten's Brauergruppen: LATEX-Bearbeitung von Ole Riedlin PDF

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Da I ein zweiseitiges Ideal in A ⊗K B ist, enth¨alt I das Element m (z ⊗ 1)x − x(z ⊗ 1) = m zai ⊗ bi − i=1 ai z ⊗ bi i=1 = (z · 1 − 1 · z ) ⊗ b1 + (za2 − a2 z ) ⊗ b2 a1 =1 =0 =0 m (zai − ai z) ⊗ bi . + i=3 Dies ist ungleich 0 , da b1 , . . , bm linear unabh¨angig sind, und es hat eine k¨ urzere L¨ ange als x im Widerspruch zur Minimalit¨at von m . Es ist also x = 1 ⊗ b1 = 0 in I . Da B einfach ist, ist Bb1 B = B und also endl. 1= j dj b1 dj mit dj , dj ∈ B . Dann ist mit x = 1 ⊗ b1 auch (1 ⊗ dj )(1 ⊗ b1 )(1 ⊗ dj ) = 1 ⊗ 1 ∈ I , j und es folgt I = A ⊗K B .

Es gibt aber immer eine zu A ¨ahnliche Azumaya-Algebra Bu ¨ber K , die L als maximal kommutativen Unterring enth¨alt. Satz. Sei A eine Azumaya-Algebra u orper¨ber K , und sei L eine endliche K¨ erweiterung von K . Dann sind ¨ aquivalent: (i) L ist Zerf¨ allungsk¨ orper von A . (ii) L ist Unteralgebra einer Azumaya-Algebra B u ¨ber K mit den Eigenschaften: B ∼ A und ZB (L) = L . (iii) L ist Unteralgebra einer Azumaya-Algebra B u ¨ber K mit B ∼ A und dimK B = (dimK L)2 . Beweis. (i) =⇒ (ii) : Es ist A ∼ Mr×r (D) mit einem zentralen Schiefk¨ orper D u ¨ber K , vgl.

Also induziert ϕ einen K X, g1 -Algebrahomomorphismus ϕ : A ⊗K K X, g1 → Mn×n K X, g1 . 2). Die Spezialisierung“ K[X] → K , f → f (α) , induziert also einen K” Algebrahomomorphismus s : K X, g1 → K mit s f gm = f (α) g(α)m und daher einen K-Algebrahomomorphismus s : Mn×n K X, g1 → Mn×n (K) , (aij ) → (s(aij )) . Man erh¨ alt nun einen K-Algebrahomomorphismus ψ : A → Mn×n (K) , a → (s ◦ ϕ)(a ⊗ 1) . 1 ist ψ injektiv und daher aus Dimensionsgr¨ unden auch surjektiv. 5 Satz von Frobenius (1878) Sei H der in Kapitel 0 eingef¨ uhrte Quaternionenschiefk¨orper u ¨ber R .

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